Financial Mathematics, Derivatives and Structured Products, Second Edition
Raymond H. Chan, Yves ZY. Guo, Spike T. Lee and Xun Li
Contents
Part I Financial Markets
1 Introduction to Financial Markets … . 3 … .
1.1 Investable Assets and Financial Instruments … . . . . . . 3 … . . . . . .
1.2 Investment Returns and Risks … 5 …
1.3 Investment Performance Measures… . . . . . . . . . 6 … . . . . . . . . .
1.4 Financial Markets … . . . . . . . . . . . . . 7 … . . . . . . . . . . . . .
1.5 Central Counterparty (CCP) … . . 8 … . .
1.6 Securities Lending and Repo … . 8 … .
1.7 Derivatives Activities … . . . . . . . . . 10 … . . . . . . . . .
2 Financial Transactions and Counterparty Risk Management* . . . . . . . 13 . . . . . . .
2.1 Concepts in the Life Cycle of a Financial Transaction . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . .
2.2 Margining Methods for Mitigating Counterparty Risk. . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . .
2.3 Exchange-Traded Derivatives* ..16 ..
2.4 OTC Derivatives* … . . . . . . . . . . . . . 17 … . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 OTC Derivatives Documentation* … . . . . . . 17 … . . . . . .
2.4.2 Centralized Clearing*… . . . . . . . . . . . . 18 … . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Non-Centrally Cleared Derivatives* … . . . . 19 … . . . .
2.5 Risk Management for Investment Financing* … . . . . . 20 … . . . . .
3 Interest Rate Instruments: I … . . . . . . . . . 21 … . . . . . . . . .
3.1 Interest Rate Conventions … . . . . 21 … . . . .
3.1.1 Day Count Convention … . . . . . . . . . . 21 … . . . . . . . . . .
3.1.2 Business Day Convention … . . . . . . . 22 … . . . . . . .
3.2 Interest Rate Types and Zero Coupon Bond ..22 ..
3.2.1 Simple Rate … . . . . . . . . 23 … . . . . . . . .
3.2.2 Compound Rate … . . . . 23 … . . . .
3.2.3 Continuous Rate … . . . 23 … . . .
3.2.4 Conversion of Interest Rates … . . . . 24 … . . . .
3.2.5 Zero Coupon Bond… . 24 … .
3.3 Money Market Instruments … . . . 25 … . . .
3.4 Reference (Floating) Rates in Financial Market … . . . 25 … . . .
3.4.1 Front-Fixed Reference Rates … . . . . 26 … . . . .
3.4.2 Rear-Fixed Reference Rates … . . . . . 27 … . . . . .
3.5 Bonds ….. . . . 28 ….. . . .
3.5.1 Bond Features and Types … . . . . . . . . 28 … . . . . . . . .
3.5.2 Bond Quotation and Yield to Maturity … . 29 … .
3.5.3 Duration, Modified Duration, BPV, DV01 and Convexity… . . . . . . . . . . . 31
3.6 Credit Rating ….. . . . 33 ….. . . .
3.7 Main Risks for a Debt Security … . . . . . . . . . . . . 33
4 Interest Rate Instruments: II … . . . . . . . . 35 … . . . . . . . .
4.1 Forward Rate Agreement and Single-Period Swap ..35 ..
4.2 Interest Rate Futures … . . . . . . . . . . 37 … . . . . . . . . . .
4.2.1 Short-Term Interest Rate (STIR) Futures ..37 ..
4.2.2 Treasury Bond Futures* … . . . . . . . . . 39 … . . . . . . . . .
4.3 Interest Rate Swap (IRS) … . . . . . 40 … . . . . .
4.3.1 Asset Swap as an IRS Application … . . . . . . 41 … . . . . . .
4.3.2 IRS Valuation … . . . . . . 41 … . . . . . .
4.3.3 Overnight Indexed Swap (OIS) … . 43 … .
4.3.4 Other Interest Rate Swaps*… . . . . . . 43 … . . . . . .
4.3.5 Swap Clearing* … . . . . 43 … . . . .
4.3.6 Swap Futures* … . . . . . 44 … . . . . .
4.4 Yield Curve Construction… . . . . . 44 … . . . . .
4.4.1 Yield Curve … . . . . . . . . 44 … . . . . . . . .
4.4.2 Interpolation Method for Yield Curve … . . 45 … . .
4.4.3 Bootstrapping Method … . . . . . . . . . . . 45 … . . . . . . . . . . .
4.4.4 Illustration Example for Yield Curve Construction . . . . 46 . . . .
4.5 Multiple Zero-Coupon Curves* … . . . . . . . . . . . . 48 … . . . . . . . . . . . .
5 Equities and Equity Indices … . . . . . . . . . 51 … . . . . . . . . .
5.1 Equity….. . . . 51 ….. . . .
5.2 Corporate Actions… . . . . . . . . . . . . . 52 … . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Stock Dividend… . . . . . 52 … . . . . .
5.2.2 Stock Split, Reverse Stock Split, Rights Issue* . . . . . . . . 53 . . . . . . . .
5.2.3 Impact of Corporate Actions* … . . . 53 … . . .
5.2.4 No-Arbitrage Condition for Derivatives Price and Contract Terms Adjustment* ..54 ..
5.2.5 Total Return Asset* … 54 …
5.2.6 Historical Price Adjustment due to Corporate Actions* … . . . . . . . . . . . . 55 … . . . . . . . . . . . .
5.3 Equity Index….. . . . . 56 ….. . . . .
5.4 Equity Forward and Cash and Carry Strategy … . . . . . 57 … . . . . .
5.5 Equity Index Futures… . . . . . . . . . . 59 … . . . . . . . . . .
5.6 Equity Swap* ….. . . 59 ….. . .
6 Foreign Exchange Instruments … . . . . . 61 … . . . . .
6.1 Quotation Conventions … . . . . . . . 61 … . . . . . . .
6.2 FX Spot, Forward, Swap, Non-deliverable Forward (NDF) . . . . . . 62 . . . . . .
6.3 Interest Rate Parity for FX Forward … . . . . . . . 63 … . . . . . . .
6.4 Cross Currency Swap and Non-deliverable Swap (NDS) . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . .
7 Commodities ….. . . . 69 ….. . . .
7.1 Commodities Overview… . . . . . . . 69 … . . . . . . .
7.2 Commodity Forward and Futures … . . . . . . . . . . 70 … . . . . . . . . . .
7.3 A Special Commodity: Gold … . 72 … .
8 Credit Derivatives ….. . . . . . 75 ….. . . . . .
8.1 Credit Default Swap (CDS) … . . 75 … . .
8.2 CLN (Credit Linked Note) … . . . 76 … . . .
8.3 Credit Index* ….. . . . 77 ….. . . .
8.4 Collateralized Debt Obligation (CDO)* … . . . 78 … . . .
8.4.1 Synthetic CDO* … . . . 80 … . . .
8.4.2 Single Tranches on Credit Index*..80 ..
9 Investment Funds ….. . . . . . . 83 ….. . . . . . .
9.1 Funds ….. . . . 83 ….. . . .
9.1.1 Fund NAV and Fees… 84 …
9.1.2 Fund Organization* … 84 …
9.1.3 Share Classes* … . . . . . 85 … . . . . .
9.2 Mutual Fund….. . . . . 86 ….. . . . .
9.3 Hedge Fund* ….. . . . 86 ….. . . .
9.4 Fund Structures* ….88 ….
9.5 Fund Derivatives* … . . . . . . . . . . . . . 89 … . . . . . . . . . . . . .
10 Options….. . . . . . . . . . . 91 ….. . . . . . . . . . .
10.1 Option General Features … . . . . . . 92 … . . . . . .
10.1.1 Option Style … . . . . . . . . 92 … . . . . . . . .
10.1.2 Moneyness of an Option… . . . . . . . . . 92 … . . . . . . . . .
10.1.3 Notional Amount Definition … . . . . 93 … . . . .
10.2 Option Price, Intrinsic Value and Time Value … . . . . . 93 … . . . . .
10.3 Vanilla Options….. . 94 ….. .
10.3.1 Equity Options … . . . . . 94 … . . . . .
10.3.2 Foreign Exchange Options … . . . . . . 95 … . . . . . .
10.3.3 Commodity Options ..95 ..
10.3.4 Interest Rate Options* … . . . . . . . . . . . 95 … . . . . . . . . . . .
10.3.5 Option Pricing, Hedging, and Execution* . . . . . . . . . . . . . . 97 . . . . . . . . . . . . . .
10.3.6 Implied Volatility* … . 98 … .
10.3.7 Put-Call Parity … . . . . . 100 … . . . . .
10.3.8 Popular Strategies with European Options . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . .
10.3.9 American Options… . . 103 … . .
10.4 Exotic Options ….. . 104 ….. .
10.4.1 Barrier Option … . . . . . . 105 … . . . . . .
10.4.2 Binary (or Digital) Option … . . . . . . . 105 … . . . . . . .
10.4.3 In-Out Parity* … . . . . . . 106 … . . . . . .
10.4.4 Asian Option or Average Option … 106 …
10.4.5 Lookback Option … . . 107 … . .
10.4.6 Quanto Option and Composite Option… . . 107 … . .
10.4.7 Basket Option, Worst-of, and Rainbow Options . . . . . . . 108 . . . . . . .
10.5 Derivatives Modelling Framework* … . . . . . . . 109 … . . . . . . .
10.5.1 Purpose of Derivatives Modelling..109 ..
10.5.2 Model Input Parameters and Calibration* . . . . . . . . . . . . . . 110 . . . . . . . . . . . . . .
10.5.3 Historical Volatility and Correlation*… . . . 110 … . . .
11 Introduction to Structured Products ..113 ..
11.1 Background and Purpose of Structured Products… . . 113 … . .
11.2 Principal Protected Product Example … . . . . . . 114 … . . . . . .
11.3 Non-principal Protected Product Example … 115 …
11.4 Quanto Feature in Structured Products … . . . . 117 … . . . .
11.5 Risks of Structured Products to Investors … . . 118 … . .
Part II Stochastic Calculus and Financial Modelling
12 Review of Basic Probability Concepts … . . . . . . . . . . . . 121 … . . . . . . . . . . . .
12.1 Probability Space, Measure, and Properties ..121 ..
12.2 Independence and Conditional Probability … 122 …
12.3 Random Variable and Distribution … . . . . . . . . . 124 … . . . . . . . . .
12.3.1 Distribution… . . . . . . . . . 124 … . . . . . . . . .
12.3.2 Expectation … . . . . . . . . . 126 … . . . . . . . . .
12.3.3 Variance and Covariance … . . . . . . . . 127 … . . . . . . . .
12.3.4 Independent Random Variables … . 129 … .
12.3.5 Conditional Probability Distribution … . . . . 129 … . . . .
12.3.6 Conditional Expectation Given Event … . . 130 … . .
12.3.7 Characteristic and Moment Generating Functions . . . . . 130 . . . . .
12.3.8 Normal Distribution ..131 ..
12.3.9 Exponential Distribution … . . . . . . . . 133 … . . . . . . . .
12.3.10 Poisson Distribution ..134 ..
12.4 Limit Theorems ….. 134 …..
12.4.1 Law of Large Numbers … . . . . . . . . . . 134 … . . . . . . . . . .
12.4.2 Central Limit Theorem … . . . . . . . . . . 135 … . . . . . . . . . .
12.4.3 Confidence Interval … 135 …
13 Stochastic Calculus: I ….. . 137 ….. .
13.1 Stochastic Process … . . . . . . . . . . . . 137 … . . . . . . . . . . . .
13.2 Conditional Expectation Given σ-Algebra* ..138 ..
13.3 Martingale, Stopping Time … . . . 142 … . . .
13.4 Markov Property*… . . . . . . . . . . . . . 142 … . . . . . . . . . . . . .
13.5 Quadratic Variation … . . . . . . . . . . . 143 … . . . . . . . . . . .
13.6 Brownian Motion … . . . . . . . . . . . . . 144 … . . . . . . . . . . . . .
13.7 Itô Integral and Itô Calculus … . . 148 … . .
13.8 Poisson Process* ….151 ….
14 Black–Scholes–Merton Model for Option Pricing … . . . . . . 155 … . . . . . .
14.1 The Black–Scholes–Merton Model … . . . . . . . . 155 … . . . . . . . .
14.2 Derivation of the Black–Scholes Equation … 157 …
14.3 Black–Scholes Formulas for Vanilla Options … . . . . . 161 … . . . . .
14.4 Derivatives Price Sensitivities (Greeks)… . . . . 163 … . . . .
14.5 Practical Issues in Hedging* … . 166 … .
14.5.1 Hedging Instruments and Hedging Ratios . . . . . . . . . . . . . . 166 . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Discrete Hedging … . . 167 … . .
14.5.3 Delta-Hedging P/L … . 168 … .
14.5.4 Motivation for Volatility Modelling… . . . . . 169 … . . . . .
14.5.5 Transaction Cost* … . . 169 … . .
15 Stochastic Calculus: II ….. 173 …..
15.1 Change of Probability… . . . . . . . . . 173 … . . . . . . . . .
15.2 Predictable Martingale Representation … . . . . 177 … . . . .
15.3 Stochastic Differential Equations … . . . . . . . . . . 178 … . . . . . . . . . .
15.4 Kolmogorov Equations* … . . . . . . 181 … . . . . . .
15.5 Breeden–Litzenberger Formulas* … . . . . . . . . . . 184 … . . . . . . . . . .
15.6 Further Properties of Brownian Motion (BM)* … . . . 185 … . . .
15.6.1 Covariance of Brownian Motions ..185 ..
15.6.2 First Passage Time … . 185 … .
15.6.3 Extremum to Date … . 185 … .
15.6.4 Reflection Principle … 186 …
15.6.5 Distribution of First Passage Time … . . . . . . 187 … . . . . . .
15.6.6 Joint Distribution for BM Extremum … . . . 188 … . . .
15.6.7 Conditional Distribution for Drifted BM Extremum . . . 189 . . .
16 Risk-Neutral Pricing Framework… . . . 195 … . . .
16.1 Money Market Account and Discounting … . 195 … .
16.2 Self-Financing Portfolio … . . . . . . 196 … . . . . . .
16.2.1 Properties of a Self-Financing Portfolio … 196 …
16.2.2 Excess Return, Self-Financing and Portfolio Return . . . 197 . . .
16.3 Risk-Neutral Probability Measure … . . . . . . . . . 198 … . . . . . . . . .
16.4 Pricing and Hedging of Derivatives … . . . . . . . . 199 … . . . . . . . .
16.5 Discussion on Hedging, Pricing and Risk-Neutral Framework . . . 201 . . .
16.6 The Black–Scholes–Merton Model Revisited … . . . . . 203 … . . . . .
16.6.1 Closed-Form Formulas for European Vanilla Options … . . . . . . . . . . . . . 203 … . . . . . . . . . . . . .
16.6.2 Vega-Gamma Relationship*… . . . . . 204 … . . . . .
16.7 Dividend Modelling … . . . . . . . . . . 206 … . . . . . . . . . .
16.7.1 Dividend Types … . . . . 206 … . . . .
16.7.2 Continuous Dividend Modelling … 206 …
16.7.3 Discrete Dividend Modelling* … . . 207 … . .
16.7.4 Adjustment to Derivatives for Corporate Actions*. . . . . 209 . . . . .
16.8 Collateralized Derivative Pricing and FVA*..210 ..
16.9 Futures and Forward Modelling* … . . . . . . . . . . 211 … . . . . . . . . . .
16.9.1 Futures….211 ….
16.9.2 Forward… . . . . . . . . . . . . . 212 … . . . . . . . . . . . . .
16.9.3 Futures/Forward Convexity Adjustment … 213 …
16.10 Overview on Numerical Methods for Option Pricing . . . . . . . . . . . . . 214 . . . . . . . . . . . . .
17 Numéraires and Vanilla Interest Rate Options Pricing* ..217 ..
17.1 Introduction of Numéraire … . . . . 217 … . . . .
17.2 Change of Numéraire … . . . . . . . . . 218 … . . . . . . . . .
17.3 Generalized Risk-Neutral Framework … . . . . . 219 … . . . . .
17.4 Usual Numéraires and Vanilla Interest Rate Options Pricing . . . . . 221 . . . . .
17.4.1 Money Market Account Numéraire … . . . . . 221 … . . . . .
17.4.2 Zero-Coupon Bond Numéraire and Cap/Floor Pricing ….222 ….
17.4.3 Annuity Factor Numéraire and Swaption Pricing . . . . . . 223 . . . . . .
17.4.4 SABR Model for Vanilla Interest Rate Options . . . . . . . . 224 . . . . . . . .
18 Foreign Exchange Modelling … . . . . . . . . 225 … . . . . . . . .
18.1 Stochastic Model for Foreign Exchange Rate … . . . . . 225 … . . . . .
18.1.1 Cross Rate Volatility ..226 ..
18.2 Pricing Formulas for Vanilla Options and FX Option Duality. . . . 226 . . . .
18.2.1 FX Option Duality … . 227 … .
18.3 SDE for Foreign Asset Under Domestic Risk-Neutral Probability ….. . . . . . . 227 ….. . . . . . .
18.4 Quanto Option ….. . 230 ….. .
18.5 Composite Option… . . . . . . . . . . . . . 231 … . . . . . . . . . . . . .
18.6 Discussions on Hedging*… . . . . . 232 … . . . . .
19 American and Exotic Options* … . . . . . 235 … . . . . .
19.1 American Options… . . . . . . . . . . . . . 235 … . . . . . . . . . . . . .
19.1.1 General Analysis on American Options … 235 …
19.1.2 American Option Price Process* … 237 …
19.1.3 Partial Differential Inequality* … . . 239 … . .
19.2 Pricing of Some Exotic Options under the BSM Model*. . . . . . . . . 240 . . . . . . . . .
19.2.1 European Binary Options… . . . . . . . . 240 … . . . . . . . .
19.2.2 American Binary and Barrier Options … . . 241 … . .
19.2.3 Asian Options with Continuous Sampling* . . . . . . . . . . . . 243 . . . . . . . . . . . .
20 Hedging/Pricing Options and Structured Products in Practice* . . . . . . 247 . . . . . .
20.1 Barrier Risk and the Mitigation Methods … . . 247 … . .
20.1.1 Smoothing for European Barrier … 248 …
20.1.2 Smoothing for American Barrier … 250 …
20.2 Correlation Risk….. 251 …..
20.2.1 Sources of Correlation Risk … . . . . . 251 … . . . . .
20.2.2 Correlation Risk Management … . . 252 … . .
20.3 Large Delta Issue … . . . . . . . . . . . . . 253 … . . . . . . . . . . . . .
21 Numerical Method (1): Monte Carlo Simulation ..255 ..
21.1 Monte Carlo Method for Pricing European Options . . . . . . . . . . . . . . 255 . . . . . . . . . . . . . .
21.1.1 Simulation Under the Black–Scholes–Merton Model….. 257 …..
21.2 Generating One-Dimensional Normal Variate… . . . . . 258 … . . . . .
21.2.1 Inverse Sampling… . . . 258 … . . .
21.2.2 Box–Muller Method*… . . . . . . . . . . . . 259 … . . . . . . . . . . . .
21.3 Generating Multi-Dimensional Normal Variates*… . 259 … .
21.3.1 Cholesky Factorization … . . . . . . . . . . 260 … . . . . . . . . . .
21.3.2 Eigenvector Factorization* … . . . . . . 261 … . . . . . .
21.4 Simulation Accuracy Measure* … . . . . . . . . . . . . 261 … . . . . . . . . . . . .
21.5 Variance Reduction Techniques*… . . . . . . . . . . . 262 … . . . . . . . . . . .
21.5.1 Antithetic Sampling ..262 ..
21.5.2 Control Variables … . . 263 … . .
21.5.3 Importance Sampling … . . . . . . . . . . . . 263 … . . . . . . . . . . . .
21.5.4 Stratified Sampling* ..264 ..
21.5.5 Moment Matching … . 265 … .
21.6 Quasi-Monte Carlo* … . . . . . . . . . . 265 … . . . . . . . . . .
21.6.1 Low-Discrepancy Sequences … . . . . 266 … . . . .
21.6.2 Principal Component Method*… . . 268 … . .
21.6.3 Brownian Bridge Method* … . . . . . . 268 … . . . . . .
21.7 Monte Carlo Approach for American Options* … . . . 269 … . . .
21.7.1 Introduction … . . . . . . . . 269 … . . . . . . . .
21.7.2 Least-Squares Method for Lower Bound ..270 ..
21.7.3 Martingale Method for Upper Bound* … . 273 … .
22 Numerical Method (2): Binomial and Trinomial Trees… . 277 … .
22.1 Binomial Tree Method… . . . . . . . . 277 … . . . . . . . .
22.1.1 Tree Construction … . . 277 … . .
22.1.2 Determination of the Parameters … 278 …
22.1.3 European Option Pricing … . . . . . . . . 279 … . . . . . . . .
22.1.4 American Option Pricing … . . . . . . . . 280 … . . . . . . . .
22.1.5 Greeks*… . . . . . . . . . . . . . 282 … . . . . . . . . . . . . .
22.1.6 Accuracy and Stability Analysis* ..282 ..
22.2 Trinomial Tree Method*… . . . . . . 284 … . . . . . .
22.3 Discrete Dividends* … . . . . . . . . . . 285 … . . . . . . . . . .
22.4 Barrier and Path-Dependent Options Pricing Issues* . . . . . . . . . . . . . 286 . . . . . . . . . . . . .
22.4.1 Barrier Options… . . . . . 286 … . . . . .
22.4.2 Other Path-Dependent Options… . . 286 … . .
23 Numerical Method (3): PDE Approach* … . . . . . . . . . 289 … . . . . . . . . .
23.1 Introduction to Finite Difference Method … . 290 … .
23.1.1 Derivatives Approximation … . . . . . . 290 … . . . . . .
23.1.2 Discretization Grid… . 290 … .
23.1.3 Resolution Equations … . . . . . . . . . . . . 292 … . . . . . . . . . . . .
23.1.4 Boundary Conditions … . . . . . . . . . . . . 292 … . . . . . . . . . . . .
23.1.5 Terminal Condition … 293 …
23.2 Finite Difference Schemes … . . . 293 … . . .
23.2.1 Explicit Scheme… . . . . 294 … . . . .
23.2.2 Implicit Scheme … . . . . 294 … . . . .
23.2.3 Crank–Nicolson Scheme and θ-Scheme* . . . . . . . . . . . . . . 295 . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Numerical Resolution for Finite Difference Methods* . . . . . . . . . . . 295 . . . . . . . . . . .
23.3.1 Direct Method… . . . . . . 296 … . . . . . .
23.3.2 Iterative Method … . . . 296 … . . .
23.4 Numerical Resolution for American Options* … . . . . 297 … . . . .
23.5 Multi-Dimensional PDE Derivation* … . . . . . . 298 … . . . . . .
23.5.1 Dynamic Hedging Portfolio Approach … . 298 … .
23.5.2 Risk-Neutral Framework Approach… . . . . . 299 … . . . . .
23.6 Alternating Direction Implicit (ADI) Method*… . . . . 300 … . . . .
23.7 ADI Method with Mixed Derivative Terms* … . . . . . . 301 … . . . . . .
23.8 Discrete Dividend* … . . . . . . . . . . . 301 … . . . . . . . . . . .
23.9 Discrete Observation/Sampling* … . . . . . . . . . . . 302 … . . . . . . . . . . .
23.9.1 No-Arbitrage Condition for Discrete Sampling* . . . . . . . 302 . . . . . . .
23.9.2 Discrete Sampling for Backward Pricing Approach . . . 302 . . .
23.10 Accuracy and Consistency Analysis* … . . . . . . 303 … . . . . . .
23.11 Stability and Convergence Analysis* … . . . . . . 304 … . . . . . .
Part III Extensions to Financial Modelling
24 Static Hedging, Variance Swap and Volatility Index* … . . 311 … . .
24.1 Static Hedging for European Style Options ..311 ..
24.2 Variance Swap ….. . 313 ….. .
24.2.1 Valuation of Variance Swap … . . . . . 314 … . . . . .
24.3 Volatility Index* ….315 ….
25 Local and Stochastic Volatility Models… . . . . . . . . . . . 317 … . . . . . . . . . . .
25.1 Local Volatility Model … . . . . . . . . 317 … . . . . . . . .
25.1.1 Local Volatility Calculation by Call Option Prices. . . . . 318 . . . . .
25.1.2 Local Volatility Calculation by Implied Volatilities*… . . . . . . . . . 319 … . . . . . . . . .
25.1.3 Local Volatility Calculation with Discrete Dividends* … . . . . . . . . . 321 … . . . . . . . . .
25.1.4 Practical Implementation … . . . . . . . . 322 … . . . . . . . .
25.2 Stochastic Volatility Models* … 322 …
25.2.1 Heston Model … . . . . . . 323 … . . . . . .
25.2.2 Forward Variance Model … . . . . . . . . 326 … . . . . . . . .
25.2.3 Local-Stochastic Volatility (LSV) Model..328 ..
26 Jump-Diffusion Models*… . . . . . . . . . . . . . 331 … . . . . . . . . . . . . .
26.1 Compound Poisson Process … . . 331 … . .
26.2 Simulating a Poisson Process and Compound Poisson Process….. . . 332 ….. . .
26.3 Stochastic Calculus for Jump-Diffusion Processes … 332 …
26.4 Jump-Diffusion Model for Option Pricing… . 334 … .
26.5 European Call or Put Option Pricing… . . . . . . . 335 … . . . . . . .
26.6 PIDE for European Style Options* … . . . . . . . . 337 … . . . . . . . .
26.6.1 Derivation of PIDE … 337 …
26.6.2 Finite Difference Method for PIDE … . . . . . 338 … . . . . .
26.7 Discussion on Hedging Under Jump-Diffusion Model* . . . . . . . . . . 338 . . . . . . . . . .
27 Interest Rate Term Structure Modelling* … . . . . . . . 341 … . . . . . . .
27.1 Continuous-Time Modelling of Interest Rate… . . . . . . 341 … . . . . . .
27.1.1 Zero Coupon Bond… . 342 … .
27.1.2 Short Rate … . . . . . . . . . . 342 … . . . . . . . . . .
27.1.3 Forward Rate … . . . . . . . 342 … . . . . . . .
27.2 Heath–Jarrow–Morton Framework … . . . . . . . . 343 … . . . . . . . .
27.2.1 No-Arbitrage Short Rate Model… . 345 … .
27.2.2 Markovian Characterization for Short Rate Models . . . 345 . . .
27.3 Short Rate Models … . . . . . . . . . . . . 348 … . . . . . . . . . . . .
27.3.1 Hull–White One-Factor Model… . . 348 … . .
27.3.2 Two-Factor LGM (Linear Gaussian Markov) . . . . . . . . . . 349 . . . . . . . . . .
27.3.3 CIR (Cox-Ingersoll-Ross) One-Factor Model . . . . . . . . . . 351 . . . . . . . . . .
27.3.4 Affine-Yield Models*… . . . . . . . . . . . . 351 … . . . . . . . . . . . .
27.4 BGM Model ….. . . . . 352 ….. . . . .
27.4.1 Factor Reduction … . . . 354 … . . .
27.4.2 Stochastic Volatility… 354 …
28 Credit Modelling* ….. . . . . . 357 ….. . . . . .
28.1 Credit Modelling ….357 ….
28.1.1 Structural Model … . . . 357 … . . .
28.1.2 Intensity Model … . . . . 358 … . . . .
28.2 CDS (Credit Default Swap) … . . 360 … . .
28.3 Credit Triangle ….. . 361 ….. .
28.4 Pricing and Hedging of Multi-Name Credit Derivatives* . . . . . . . . 361 . . . . . . . .
28.4.1 Copula ….361 ….
28.4.2 One-Factor Gaussian Copula Model … . . . . 362 … . . . .
28.4.3 Multi-Name Credit Derivatives Pricing … . 364 … .
28.4.4 Hedging Multi-Name Credit Derivatives* . . . . . . . . . . . . . . 367 . . . . . . . . . . . . . .
28.5 Counterparty Risk Measures … . 368 … .
28.5.1 PFE (Potential Future Exposure)… 368 …
28.5.2 VaR (Value-at-Risk) ..369 ..
28.5.3 Close-Out Risk … . . . . . 369 … . . . . .
28.5.4 EPE (Expected Positive Exposure) … . . . . . 369 … . . . . .
28.5.5 CVA (Credit Value Adjustment) … 369 …
28.5.6 Wrong-Way Risk … . . 370 … . .
28.5.7 Basel Risk Weight Function* … . . . 370 … . . .
29 Commodity Modelling* ….373 ….
29.1 Spot Model ….. . . . . . 374 ….. . . . . .
29.2 Futures Model ….. . . 374 ….. . .
29.3 Multi-Factor Models* … . . . . . . . . 376 … . . . . . . . .
Part IV Structured Products and Solutions
30 Structured Products: Structuring Topics … . . . . . . . . 381 … . . . . . . . .
30.1 Building Blocks ….. 381 …..
30.2 Underliers ….. . . . . . . 382 ….. . . . . . .
30.3 Wrapper or Instrument… . . . . . . . . 382 … . . . . . . . .
30.4 Payoff Structuring Techniques ..384 ..
30.5 Investment Leveraging… . . . . . . . . 386 … . . . . . . . .
30.6 Pricing and Hedging … . . . . . . . . . . 387 … . . . . . . . . . .
30.7 Funding Management… . . . . . . . . . 388 … . . . . . . . . .
30.8 Back-Testing ….. . . . 389 ….. . . .
31 Popular Option Based Structured Products … . . . . . 391 … . . . . .
31.1 Equity Structured Products … . . . 391 … . . .
31.1.1 Equity Linked Note (ELN) … . . . . . . 392 … . . . . . .
31.1.2 Fixed Coupon Callable Note (FCN) … . . . . 392 … . . . .
31.1.3 Daily Range Accrual Callable Note (DAC) . . . . . . . . . . . . 393 . . . . . . . . . . . .
31.1.4 Phoenix Callable Note … . . . . . . . . . . . 394 … . . . . . . . . . . .
31.1.5 Snowball Structure … . 394 … .
31.1.6 Issuer Callable Structure… . . . . . . . . . 396 … . . . . . . . . .
31.1.7 Shark-Fin … . . . . . . . . . . . 396 … . . . . . . . . . . .
31.1.8 Accumulator … . . . . . . . 397 … . . . . . . .
31.1.9 Decumulator … . . . . . . . 399 … . . . . . . .
31.1.10 Bonus Enhanced Note (BEN) … . . . 399 … . . .
31.1.11 Twin-Win … . . . . . . . . . . . 400 … . . . . . . . . . . .
31.1.12 Tracker+ Note… . . . . . . 401 … . . . . . .
31.1.13 Booster Note … . . . . . . . 402 … . . . . . . .
31.1.14 Wedding Cake… . . . . . . 402 … . . . . . .
31.1.15 Stellar Note… . . . . . . . . . 403 … . . . . . . . . .
31.1.16 CBBC: Callable Bull/Bear Contract … . . . . 403 … . . . .
31.1.17 Cliquet Option … . . . . . 404 … . . . . .
31.1.18 Himalaya … . . . . . . . . . . . 405 … . . . . . . . . . . .
31.2 Fixed-Income Structured Products … . . . . . . . . . 405 … . . . . . . . . .
31.2.1 Range Accrual … . . . . . 405 … . . . . .
31.2.2 Inverse Floater … . . . . . 407 … . . . . .
31.2.3 Zero Coupon Callable Note … . . . . . 407 … . . . . .
31.2.4 Reverse Convertible Note on Rate … . . . . . . 408 … . . . . . .
31.2.5 Yield Spread Structure … . . . . . . . . . . . 408 … . . . . . . . . . . .
31.3 Foreign-Exchange Structured Products … . . . . 409 … . . . .
31.3.1 Dual Currency Investment (DCI) ..409 ..
31.3.2 FX Accumulator … . . . 410 … . . .
31.3.3 Target Redemption Forward (TARF) … . . . 410 … . . .
31.4 Commodities Structured Products … . . . . . . . . . 413 … . . . . . . . . .
31.5 Hybrid Structured Products… . . . 413 … . . .
31.5.1 Best-of Profile … . . . . . . 414 … . . . . . .
31.5.2 Callable Range Accrual … . . . . . . . . . 414 … . . . . . . . . .
31.5.3 Gap Note* … . . . . . . . . . . 415 … . . . . . . . . . .
31.6 Fund Linked Structured Products … . . . . . . . . . . 415 … . . . . . . . . . .
31.6.1 Bullish Note … . . . . . . . . 416 … . . . . . . . .
31.6.2 Bullish Coupon Note … . . . . . . . . . . . . 417 … . . . . . . . . . . . .
31.7 Credit Linked Structured Products … . . . . . . . . . 418 … . . . . . . . . .
31.7.1 Credit Linked Note (CLN) … . . . . . . 418 … . . . . . .
31.7.2 CLN on Credit Index … . . . . . . . . . . . . 418 … . . . . . . . . . . . .
31.8 Equity Derivatives for Corporates… . . . . . . . . . . 418 … . . . . . . . . . .
31.8.1 Financing … . . . . . . . . . . . 419 … . . . . . . . . . . .
31.8.2 Shares Buy-Back and Disposal… . . 423 … . .
31.8.3 Greenshoe (Over-Allotment) Option* … . . 424 … . .
32 Structured Products with Dynamic Asset Allocation and Systematic Strategies … . . . . . . . . . . . . 427 … . . . . . . . . . . . .
32.1 Principal Protection with Dynamic Asset Allocation . . . . . . . . . . . . . 427 . . . . . . . . . . . . .
32.1.1 Volatility Target … . . . . 428 … . . . .
32.1.2 Actively Managed Portfolio with Protection . . . . . . . . . . . 429 . . . . . . . . . . .
32.1.3 Gap Risk Based Asset Allocation: CPPI and TIPP . . . . 429 . . . .
32.2 Structured Products with Systematic Strategies … . . . 432 … . . .
32.2.1 Introduction to Factor Models… . . . 433 … . . .
32.2.2 Portfolio Approach … 437 …
A Some Elements in Probability Theory, Linear Algebra and Analysis ….. . . . . 441 ….. . . . .
A.1 Multivariate Random Variable ..441 ..
A.2 Multivariate Normal Distribution … . . . . . . . . . . 442 … . . . . . . . . . .
A.3 Unbiased Estimators … . . . . . . . . . . 444 … . . . . . . . . . .
A.4 Multiple Least-Squares Regression … . . . . . . . . 444 … . . . . . . . .
A.5 Plackett’s Identity … . . . . . . . . . . . . . 445 … . . . . . . . . . . . . .
A.6 Dirac Delta Function… . . . . . . . . . . 446 … . . . . . . . . . .
A.7 Box–Muller Method for Uniform Variables ..446 ..
A.8 Approximation of Distribution Function for Normal Variables ….. 447 …..
A.9 Inversion of Characteristic Functions … . . . . . . 448 … . . . . . .
B Closed-Form Solutions to Some Options… . . . . . . . . . 451 … . . . . . . . . .
B.1 Vanilla Options on Stocks … . . . . 451 … . . . .
B.2 Vanilla Options on Foreign Exchange Rate… 452 …
B.3 Vanilla Options on Futures … . . . 452 … . . .
B.4 Barrier Options ….. . 453 ….. .
C Sobol Method for Low-Discrepancy Sequence … . . 455 … . .
C.1 Sobol Sequence Generation … . . 455 … . .
C.2 Simplification of Sobol Sequence Generation with Gray Code . . 456 . .
C.3 Direction Numbers… . . . . . . . . . . . . 456 … . . . . . . . . . . . .
C.4 Comments on Uniformity … . . . . 458 … . . . .
C.5 Comments on the Rationale of the Method … 458 …
D Some Results of Portfolio Theory … . . . 461 … . . .
E Representation of CIR Process as a Squared Bessel Process . . . . . . . . . . 463 . . . . . . . . . .
E.1 Squared Bessel Process … . . . . . . . 463 … . . . . . . .
E.2 Representation of CIR Process ..464 ..
References….. . . . . . . . . . . . . 467 ….. . . . . . . . . . . . .
Index ….. . . . . 473 ….. . . . .