Principles of Mathematical Analysis, Third Edition
Walter Rudin
Contents
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 The Real and Complex Number Systems 1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
The Real Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
The Extended Real Number System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
The Complex Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Basic Topology 22
Finite, Countable, and Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Perfect Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Numerical Sequences and Series 43
Convergent Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Upper and Lower Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Some Special Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Series of Nonnegative terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
The Number e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
The Root and Ratio Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Summation by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Absolute Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Addition and Multiplication of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Rearrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Continuity 76
Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Continuity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Continuity and Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Monotonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Infinite Limits and Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Differentiation 94
The Derivative of a Real Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
The Continuity of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
L’Hˆ opital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Differentiation of Vector-valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 The Riemann-Stieltjes Integral 110
Definition and Existence of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Properties of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Integration and Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Rectifiable Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Sequences and Series of Functions 132
Discussion of the Main Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Uniform Convergence and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Uniform Convergence and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Uniform Convergence and Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Equicontinuous Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
The Stone-Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 Some Special Functions 159
Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
The Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
The Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
The Algebraic Completeness of the Complex Field . . . . . . . . . . . . . . 171
Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9 Functions of Several Variables 190
Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
The Contraction Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
The Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
The Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
The Rank Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Differentiation of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10 Integration of Differential Forms 230
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Primitive Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Simplexes and Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Closed Forms and Exact Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Vector Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11 The Lebesgue Theory 282
Set Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Construction of the Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Measure Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Simple Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Comparison with the Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Integration of Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Functions of Class L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
CONTENTS vii
Bibliography 316