Foundations of Quantitative Finance Book V: General Measure and Integration Theory
Robert R. Reitano
Contents
Preface xi
Author xiii
Introduction xv
1 Measure Spaces 1
1.1 Lebesgue and Borel Spaces on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Starting Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Lebesgue Measure Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Borel Measure Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 General Extension Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Measure Space Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Finite Products of Measure Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Borel Measures on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Infinite Products of Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Continuity of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Measurable Functions 17
2.1 Properties of Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Limits of Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Results on Function Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Approximating σ(X)-Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Monotone Class Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Monotone Class Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Functional Monotone Class Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 General Integration Theory 36
3.1 Integrating Simple Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Integrating Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Lebesgue’s Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Properties of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Product Space Measures Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Integrating General Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Properties of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2 Beppo Levi’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Lebesgue’s Dominated Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 Bounded Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.5 Uniform Integrability Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Leibniz Integral Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Riemann Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Lebesgue/Lebesgue-Stieltjes Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Lebesgue-Stieltjes vs. Riemann-Stieltjes Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1 Lebesgue-Stieltjes Integrals on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.2 Lebesgue-Stieltjes Integrals on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Change of Variables 84
4.1 Change of Measure: A Special Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Measures Defined by Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.2 Integrals and Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Transformations and Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Measures Induced by Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Change of Variables under Transformations . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Special Cases of Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.1 Lebesgue Integrals on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 Linear Transformations on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.3 Differentiable Transformations on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Integrals in Product Spaces 117
5.1 Product Space Sigma Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.1 Sigma Algebra Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.2 Implications for Chapter Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2 Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1 Introduction to Fubini/Tonelli Theorems . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2 Integrals of Characteristic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Fubini’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.1 Generalizing Fubini’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2 Fubini’s Theorem on σ′ (X × Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 Tonelli’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.1 Tonelli’s Theorem on σ′ (X × Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Two Applications of Fubini/Tonelli 140
6.1 Lebesgue-Stieltjes Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.1.1 Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.1.2 Lebesgue-Stieltjes integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Convolution of Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 The Fourier Transform 152
7.1 Integration of Complex-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2 Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3 Properties of Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4 Fourier-Stieltjes Inversion of φF (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.5 Fourier Inversion of Integrable φF (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.5.1 Integrability vs. Decay at ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.5.2 Fourier Inversion: From Integrable φF (t) to f (x) . . . . . . . . . . . 172
7.6 Continuity Theorem for Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 General Measure Relationships 180
8.1 Decomposition of Borel Measures on (R, B(R), m) . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2 Decomposition of σ-Finite Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.2.1 Signed Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.2.2 The Hahn and Jordan Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2.3 The Radon-Nikod´ym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.4 The Lebesgue Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9 The Lp Spaces 204
9.1 Introduction to Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2 The Lp(X)-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.3 Approximating Lp(X)-Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4 Bounded Linear Functionals on Lp(X)-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.5 Hilbert Space: A Special Case of p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
References 231
Index 235